Rechtsseitiger Signifikanztest
Inhaltsverzeichnis
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Aufgabenstellung
Ein Waschmittelhersteller weiß, dass \(30\%\) der Kunden, die ein Fein- und Wollwaschmittel kaufen, sich für ihr Produkt ProWoll entscheiden. Der Waschmittelhersteller hat nun eine Werbeagentur damit beauftragt, eine umfangreiche Werbekampagne durchzuführen. Die Werbeagentur verspricht, dass der Absatz von ProWoll dadurch gesteigert worden ist.
Führe einen Signifikanztest durch, um das Versprechen der Agentur auf einem Signifikanzniveau von \(12\%\) zu stützen, wobei \(150\) Kunden, die ein Fein- und Wollwaschmittel gekauft haben, befragt worden sind.
\(\\[2em]\)
Variablendeklaration
\(x\) beschreibt die Anzahl der Kunden, die sich für das Fein- und Wollwaschmittel ProWoll entscheiden. \(x\) ist binomialverteilt mit \(n=150\).
\(\\[2em]\)
Hypothesen formulieren
Die Werbeagentur verspricht, dass mehr als \(30\%\) der Kunden das Waschmittel ProWoll kaufen. Wie viel Prozent es sind, kann sie jedoch nicht sagen. Dagegen wissen wir, dass bisher \(30\%\) der Kunden sich für ProWoll entschieden haben. Von dieser Hypothese können wir auf der Basis des Signifikanzniveaus den Annahme- und Verwerfungsbereich bestimmen. Wir wählen in Übereinstimmung mit dem Prinzip des Hypothesentests diese Hypothese als Nullhypothese mit
\( \quad \begin{array}{ r l } h_0: & p = 0{,}3 \\ \end{array} \)
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Wie beim Alternativtest arbeiten wir mit zwei sich gegenseitig ausschließende Hypothesen. Die Vermutung ist die \(h_1\)-Hypothese. Da die eine Hypothese die Gegenhypothese der jeweils anderen ist, können wir die Nullhypothese noch schärfer formulieren und kommen zu den Hypothesen
\( \quad \begin{array}{ r l } h_0: & p \leq 0{,}3 \\[5pt] h_1: & p > 0{,}3 \\ \end{array} \)
\(\\[1em]\)
Merke:
-
Wähle die Vermutung als die \(h_1\)-Hypothese.
-
Die Gegenhypothese dazu ist die Nullhypothese. Die Nullhypothese enthält ,,p ist gleich \(\dots\)‘’
-
Die Nullhypothese ist unsere Arbeitshypothese.
\(\\[2em]\)
Verwerfungsbereich der Nullhypothese festlegen
Das die eine Hypothese das Gegenteil der anderen ist, zeigt sich nicht nur beim \(p\)-Wert, sondern auch bei den Annahme- und Verwerfungsbereichen. Diese sind für die Nullhypothese
\( \quad \begin{array}{ r c l } V & = & \{ 0 \, , \, \cdots \, , \, k \} \\[5pt] A & = & \{ k+1 \, , \, \cdots \, , \, 500 \} \\ \end{array} \)
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und für die \(h_1\)-Hypothese% ist der Annahme- und Verwerfungsbereich
\( \quad \begin{array}{ r c l } A & = & \{ 0 \, , \, \cdots \, , \, k \} \\[5pt] V & = & \{ k+1 \, , \, \cdots \, , \, 150 \} \\ \end{array} \)
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Graphisch veranschaulicht:
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Um den Annahmebereich der Vermutung \(h_1\) zu berechnen, ermitteln wir einfach den Verwerfungsbereich der Nullhypothese. Beide haben das Intervall \([0;k]\). Denn der Verwerfungsbereich der Nullhypothese ist ja mit \(\alpha=12\%\) vorgegeben.
\(\\[2em]\)
Stelle k ermitteln
Die Stelle \(k\) wird durch die Näherung mit der Normalverteilung ermittelt.
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Für den Verwerfungsbereich gilt mit dem Signikanzniveau von \(\alpha \, = \, 12\%\)
\( \quad \begin{array}{ r c l l } P(x \geq k) & \leq & 0{,}12 \\[4pt] 1 - P(x \leq k - 1) & \leq & 0{,}12 & | \, -1 \\[4pt] -P(x \leq k-1) & \leq & -0{,}88 & | \, \cdot (-1) \\[4pt] P(x \leq k-1) & \geq & 0{,}88 \\ \end{array} \)
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Weiter gilt
\( \quad \begin{array}{ r c l } P(x \leq k-1) & \leq & 0{,}88 \\[4pt] \Phi(z) & \leq & 0{,}88 \\ \end{array} \)
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Mit der Stetigkeitskorrektur ist
\( \quad \begin{array}{ r c l } z & = & \frac{k - 1 + 0{,}5 - \mu}{\sigma} \\[5pt] z & = & \frac{k - 0{,}5 - \mu}{\sigma} \\ \end{array} \)
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Um \(k\) aus \(\Phi(z)\) zu ermitteln benötigen wir den Erwartungswert mit
\( \quad \begin{array}{ r c c c l } \mu & = & 150 \cdot 0{,}3 & = & 45 \\ \end{array} \)
\(\\\)
und die Standardabweichung mit
\( \quad \begin{array}{ r c c c c c l } \sigma & = & \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} & = & \sqrt{150 \cdot 0{,}3 \cdot (1-0{,}3)} & = & 5{,}61 \\ \end{array} \)
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Die Stelle \(k\) kann auf zwei Arten mit der Normalverteilung bestimmt werden, durch
\(\\[1em]\)
Berechnung mit dem Taschenrechner
Der einfachste Weg ist sicherlich mit der inversen Normalverteilung mithilfe des Taschenrechners.
Es ergibt sich \(k\) mit
\( \quad \begin{array}{ r c l l } k-0{,}5 & = & \Phi_{\mu \, ; \, \sigma}^{-1}(1-\alpha) \\[6pt] k-0{,}5 & = & \Phi_{45 \, : \, 5{,}61}^{-1}(0{,}88) \\[6pt] k-0{,}5 & = & 51{,}59 & | \, +0{,5} \\[5pt] k & = & 52{,}09 \\ \end{array} \)
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Wir erhalten \(k=52\).
\(\\[1em]\)
Berechnung mit der Tabelle
Aus der Tabelle lässt sich für \(\Phi(0{,}88)\) der Wert
\( \quad z \, = \, 1{,}18 \)
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ablesen. Es gilt nun
\( \quad \begin{array}{ r c l l } \frac{k - 0{,}5 - \mu}{\sigma} & = & z & | \, \cdot \sigma \\[6pt] k - 0{,}5 + \mu & = & z \cdot \sigma & | \,- \mu \\[5pt] k - 0{,}5 & = & -\mu + z \cdot \sigma & | \,+ 0{,}5 \\[5pt] k & = & \mu + z \cdot \sigma + 0{,}5 \\[4pt] k & = & 45 + 1{,}18 \cdot 5{,}61 + 0{,}5 \\[4pt] k & = & 52{,}12 \\ \end{array} \)
\(\\\)
Wir erhalten \(k=52\).
\(\\[2em]\)
Entscheidungsregel aufstellen
Daraus ergibt sich Verwerfungs-und Annahmebereich der Nullhypothese.
\( \quad \begin{array}{ r c l } V & = & \{ 0 \, , \, \cdots \, , \, 51 \} \\[5pt] A & = & \{ 52 \, , \, \cdots \, , \, 150 \} \\ \end{array} \)
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Der Verwerfungsbereich der Nullhypothese ist gleichzeitig der Annahmebereich der \(h_1\)-Hypothese. Damit ist die
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Entscheidungsregel:
Haben wir bei der Stichprobe von \(150\) Käufer von Fein- und Wollwaschmitteln mindestens \(52\), die sich für Prowoll entschieden haben, so kann das Versprechen der Werbeagentur gestützt werden.
\(\\[2em]\)
Fehler 2. Art
Durch die Werbekampagne hat sich die Verkaufsrate auf \(40\%\) gesteigert. Wie lautet der Fehler 2. Art?
An der gleichen Grenze \(k\) wird der Verwerfungsbereich von \(h_1\) berechnet.
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\( \quad \begin{array}{ r c l } \beta & = & P_{150 \, ; \, 0{,}4}(x < 52) \\[5pt] & = & P_{150 \, ; \, 0{,}4}(x \leq 51) \\[5pt] & = & 0{,}0773 \\[5pt] & = & 7{,}73 \% \\ \end{array} \)
\(\\[2em]\)